Auflösungsvermögen von Objektiven

Teleskop-Objektive

Als mittlerweile seit mehreren Jahrzehnten praktizierender Amateurastronom bin ich recht gut vertraut mit der Bestimmung und Berechnung des Auflösungsvermögen optischer Instrumente insbesondere natürlich auch von Teleskopen. Amateurastronomen interessieren sich hierbei wie eng zwei (gleich helle) Sterne am Himmel zusammen stehen dürfen um im Teleskop der Wahl gerade noch als getrennt wahrgenommen werden zu können.

Begrenzt wird das Auflösungsvermögen jedes Objektives durch Beugungserscheinungen an der kreisförmigen äußeren Begrenzung des Objektivs (Blende). Ein unendlich großes Objektiv würde punktförmige Lichtquellen als Punkte abbilden, jedes Objektiv mit einem endlichen Durchmesser erzeugt von punktförmigen Lichtquellen mehr oder weniger große Beugungsmuster englisch Airy-Disks genannt. Die Größe dieser Airy-Disks ist ausschließlich von dem verwendeten Öffnungsverhältnis resp. der Blende abhängig aber dazu später mehr.

Da der Himmel von der Erde aus betrachtet eine Kugelgestalt hat wird das Auflösungsvermögen von Teleskopen üblicherweise im Bogenmaß angegeben und berechnet sich wie folgt, wobei D der Durchmesser des Objektivs und λ die Wellenlänge ist, üblicherweise wird hier die e-Linie ne = 546 nm verwendet, tlw. findet man in der Literatur aber auch 560 nm als Referenzwellenlänge wobei die Unterschiede zw. beiden Ergebnissen eher akademischer Natur sind.

Bei einem Teleskop von 100 mm Objektivöffnung errechnet sich das Auflösungsvermögen so zu 1,4″.

Der Berechnung des Auflösungsvermögens von Teleskopen liegt das Rayleigh Kriterium zugrunde, Details hierzu sind z.B. bei Wikipedia zu finden unter Rayleigh Criteria.

Interessant und für den weiteren Artikel wichtig ist ein grundsätzliches Verständnis der Airy-Disks und die Bestimmung seiner Größe. Zunächst einmal aber ein Blick auf die Airy-Disk. In einem Teleskop sieht die Airy-Disk eines (punktförmigen!) Sterns unter perfekten Bedingungen bei entsprechend hoher Vergrößerung wie folgt aus :

Der zugehörige Graph der den Intensitätsverlauf einer Airy-Disk zeigt sieht grundsätzlich wie folgt aus :

Gut zu erkennen das eigentliche zentrale Beugungsscheibchen und die umgebenden Beugungsringe. Der Durchmesser DA der Airy-Disk ist nun wieder von der verwendeten Wellenlänge λ und von dem Öffnungsverhältnis (Blende) N abhängig. Der Durchmesser basierend auf dem 1. Beugungsminimum errechnet sich wie folgt :

Kamera-Objektive

Das Auflösungsvermögen fotografischer Objektive ist aus historischen Gründen anders definiert. Üblicherweise verwenden Fotografen für die Auflösung von Objektiven analog zum Auflösungsvermögen fotografischer Filme die Einheit Linienpaare pro mm, [LP/mm]. Hier wird ermittelt wie eng schwarz-weiße Linienpaare zusammen stehen dürfen um noch als getrennt wahrgenommen zu werden. Eine kurze Beschreibung dieser Einheit und seiner Grundlagen ist wiederum auf Wikipedia zu finden in dem Artikel zur fotografischen Auflösung. Grundsätzlich sind die physikalischen Gegebenheiten bei Kamera-Objektiven aber natürlich exakt dieselben wie bei Teleskop-Objektiven. Kamera-Objektive erzeugen ebenfalls Airy-Disks von punktförmigen Lichtquellen welche das Auflösungsvermögen beschränken.

Die für mich spannende Frage und mit ein Grund für diesen Artikel war die Übertragung resp. Vereinheitlichung der Bestimmung der Auflösungsvermögen von Teleskop-Objektiven und Kamera-Objektiven, die Auswirkung des Auflösungsvermögens von Kamera-Objektiven bei Verwendung verschiedener Blenden auf das Bild und daraus folgend Auswirkungen auf die Filmauswahl.

Trennvermögen – Definition für Kameraobjektive

Wie bereits beschrieben verwenden Fotografen eine andere Definition um das Auflösungsvermögen von Kamera-Objektiven zu beschreiben, Linienpaare/mm [LP/mm]. Um nun das Auflösungsvermögen basierend auf den Airy-Disks für Kamera-Objektive nun auch in LP/mm übertragen zu können bedarf es zunächst einer Definition für den Zusammenhang zwischen Linienpaaren und Beugungsmustern. Dem ursprünglich angedachten schwarz-weißen Muster der Linienpaare kommen multiple sich überlappende Beugungsmuster mit einem Intensitätskontrast von 1 am nächsten. Dies bedeutet nichts anderes, als dass sich nebeneinander stehende Airy-Disks jeweils im 1. Beugungsminimum überlappen. Das folgende Bild veranschaulicht diesen Sachverhalt.

Mathematisch ist nun der Zusammenhang zw. den Beugungsmustern und Linienpaaren wie folgt, wobei T das Auflösungsvermögen in [LP/mm] und DA der von der jeweiligen Blende abhängige Durchmesser der Airy-Disk sind:

Auf dieser Grundlage lassen sich nun nach (2) die Größen der Airy-Disks für verschiedenen Blenden berechnen und in die Einheit Linienpaare/mm nach (3) umsetzen. Der folgende Graph zeigt nun sowohl die Größen der Airy-Disks als auch die Abhängigkeit des Auflösungsvermögens von Kamera-Objektiven von der Blende wobei das Auflösungsvermögen in [LP/mm] dargestellt ist.

Zur Erläuterung :

Die blaue Gerade beschreibt den Durchmesser des Airy-Disk (rechte Y-Achse) abhängig von der gewählten Blende resp. Öffnungsverhältnis (X-Achse). Die Rote Kurve beschreibt in Abhängigkeit von der gewählten Blende das theoretisch max. erreichbare Auflösungsvermögen des Objektives in [LP/mm] (linke Y-Achse). Beide Kurven stellen theoretische Werte dar welche nur bei perfekter, fehlerfreier Optik erreicht werden können.

Das höchste Auflösungsvermögen wird bei den meisten Objektiven zwischen Blenden von ~3 bis etwa 8 erreicht. Bei kleineren Blenden (rechts in der Grafik) nimmt das Auflösungsvermögen aufgrund der zunehmenden Größe der Beugungsmuster deutlich ab, bei größeren Blenden (links in der Grafik) würde das Auflösungsvermögen theoretisch immer weiter zunehmen was aber in der Praxis meist nicht der Fall ist aufgrund von Abbildungsfehlern der verwendeten Optiken die bei größeren Blenden immer mehr zum Tragen kommen.

Insbesondere bei großen Blenden kommen die diversen Abbildungsfehler die Objektive haben immer mehr zum Tragen, die wichtigsten sind Chromatische- und Sphärische- Aberration, Astigmatismus, Koma und verschiedene andere Fehler. Diese vergrößern die Beugungsmuster und reduzieren somit zunehmend bei größeren Blenden das Auflösungsvermögen oben in der Grafik beispielhaft angedeutet durch die gestrichelten roten und blauen Linien. Diese lassen sich natürlich nicht verallgemeinern und es hängt von den jeweiligen Objektiven ab wie diese gestrichelten Kurven dann wirklich verlaufen.

Als Faustregel kann man i.d.R. davon ausgehen, dass einfache Zoom-Objektive ein praktisches Auflösungsvermögen im Bereich von 50 LP/mm haben, Festbrennweiten erreichen bis 100 LP/mm und teils darüber. Ausnahmeobjektive e.g. von Zeiss können auch Auflösungen jenseits von 200 LP/mm erreichen.

Der in der Grafik grün hinterlegte Bereich ist der Bereich in dem qualitativ gute Objektive die beste Performance zeigen. Diesen habe ich hier recht subjektiv gewählt, bei höheren Ansprüchen ist dieser Bereich ggf. auch enger zu fassen. Die horizontale Gerade bei etwa [110 LP/mm] entspricht dem max. Auflösungsvermögen meines Filmscanners (5400 dpi). Dies nur der Vollständigkeit halber um aufzuzeigen, dass die Auflösung des fertigen Bildes auch von den Komponenten in der weiteren Verarbeitung wie Scanner, Vergrößerer, Drucker abhängt.

Zusammenhang mit der Auflösung von Filmen

Das Auflösungsvermögen fotografischer Filme wird i.d. Regel auch in [LP/mm] angegeben, z.B. hat der Kodak Professional Ektar 100 Farbnegativfilm ein Auflösungsvermögen von ~105 [LP/mm], der Ilford Delta 100 ungefähr 140 [LP/mm], klassische 100 ISO SW-Filme liegen hier bei etwa 75 [LP/mm] jeweils bei einem Kontrastverhältnis von 1:4.

Aus der obigen Grafik sieht man nun, dass bei Verwendung kleiner Blenden das Auflösungsvermögen des verwendeten Films nachrangig ist da das Auflösungsvermögen primär vom Objektiv begrenzt wird. Im grün hinterlegten Bereich hingegen ist das Auflösungsvermögen des verwendeten Films relevant da auch das Objektiv hier Auflösungsvermögen im Bereich >>50 [LP/mm] zeigt. Wenn also das Ziel hochaufgelöste Bilder sind macht es Sinn einen geeigneten Film zu verwenden gepaart mit qualitativ guten Objektiven und einer passenden Blendeneinstellung.

Das erreichbare Auflösungsvermögen einer bestimmten Kombination von Objektiv, Film und Weiterverarbeitung (Scanner/Vergrößerer) auf einem fertigen Ausdruck oder Positiv ist immer kleiner als das kleineste Auflösungsvermögen der beteiligten Komponenten. Der Zusammenhang hier ist leider nicht ganz trivial und es ist in der Tat nicht so, dass bei Verwendung eines Objektives mit 100 LP/mm und eines Films mit 100 LP/mm auch tatsächlich eine Auflösung von 100 LP/mm auf dem Film und letztendlich auf dem Positiv landet. Dieses nun zu beschreiben ist aber Thema eines weiteren Artikels wo es um das notwendige Auflösungsvermögen des Gesamtsystems (Kamera / Objektiv / Film / Weiterverarbeitung) geht für sehr große Ausdrucke resp. Positive vom 35 mm Film.

Ein kurzer Ausflug in die MTF Welt

Die konsequente Weiterentwicklung des oben gezeigten Ansatzes sind die Modulation Transfer Functions (MTF). Dieser zeitgemäße Ansatz beschreibt die Performance eines optischen Systems. In die MTF gehen Auflösung und Kontrast/Modulation ein. Das Ergebnis sind MTF Kurven, die die Performance des optischen Systems zeigen. Statt dem in der Grafik oben gezeigten sich wiederholenden Intensitätsverlaufs werden bei MTFs sinusförmige Helligkeitsverteilungen zu Grunde gelegt. Das Muster besteht somit aus abwechselnd hellen und dunkler Streifen unterschiedlicher Frequenz. Je höher die Frequenz desto enger stehen die Linien zusammen. Ausgewertet wird nun die Antwort des optischen Systems auf diese Eingangssignale.

Dieses Konzept ist an vielen Stellen im Web gut dokumentiert, hier sind einige Links zum Weiterlesen :

• Edmund Optics – Introduction to Modulation Transfer Function
• Zeiss – Wie liest man MTF-Kurven

Zusammenfassung

Ich hoffe hier einen allgemeinverständlichen Weg aufgezeigt zu haben wie das Auflösungsvermögen von Objektiven allgemein basierend auf den Beugungsmustern übertragen werden kann in die für Fotografen eher bekannte Definition der Auflösung über Linienpaare/mm und dabei auch Wege aufzuzeigen, wie durch geeignete Einstellung der Blende und Verwendung passender Filme die Auflösung im Ergebnis maximiert werden kann.

Essentiell bei der ganzen Betrachtung ist immer die Qualität der verwendeten Optik, hier sollten keine Abstriche gemacht werden. Hinzu kommt aber auch noch die Aufnahmetechnik. Freihand-Aufnahmen sind meist bis zu einem gewissen Grad verwackelt. Wer an die Grenzen der möglichen Auflösung gehen möchte sollte unbedingt ein Stativ verwenden.

Ein weiterer wichtiger Aspekt oben bereits angedeutet ist auch die Weiterverarbeitung der Bilder durch Scanner, Drucker, Vergrößerer etc. Alle diese Komponenten müssen die gewünschte Auflösung unterstützen damit diese am Ende auch erreicht wird. Die final erreichte Auflösung richtet sich nach dem schwächsten Glied in der Kette.

Und last but not least, das oben gesagte gilt mal abgesehen von den filmspezifischen Anmerkungen auch uneingeschränkt für digitale Sensoren. Um die Auflösung bei digitalen Sensoren zu optimieren sollte die Größe der Airy-Disks des Objektivs auf die Pixelgröße des CCD oder CMOS Chips durch die Wahl geeigneter optischer Parameter angepasst werden.